Определитель матрицы. Вычислить определитель матрицы онлайн Найти определитель матрицы разложением по столбцу онлайн
Равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки или столбца на их алгебраические дополнения, т.е. , где i 0 – фиксировано.
Выражение (*) называют разложением определителя D по элементам строки с номером i 0 .
Назначение сервиса . Данный сервис предназначен для нахождения определителя матрицы в онлайн режиме с оформлением всего хода решения в формате Word . Дополнительно создается шаблон решения в Excel .
Инструкция . Выберите размерность матрицы, нажмите Далее. Вычислить определитель можно будет двумя способами: по определению и разложением по строке или столбцу . Если требуется найти определитель созданием нулей в одной из строк или столбцов, то можно использовать этот калькулятор .
Алгоритм нахождения определителя
- Для матриц порядка n=2 определитель вычисляется по формуле: Δ=a 11 *a 22 -a 12 *a 21
- Для матриц порядка n=3 определитель вычисляется через алгебраические дополнения или методом Саррюса .
- Матрица, имеющая размерность больше трех, раскладывается на алгебраические дополнения, для которых вычисляются свои определители (миноры). Например, определитель матрицы 4 порядка находится через разложение по строкам или столбцам (см. пример).
Используем прием разложения по первой строке.
Δ = sin(x)× + 1× = 2sin(x)cos(x)-2cos(x) = sin(2x)-2cos(x)
Методы вычислений определителей
Нахождение определителя через алгебраические дополнения является распространенным методом. Его упрощенным вариантом является вычисление определителя правилом Саррюса . Однако при большой размерности матрицы, используют следующие методы:- вычисление определителя методом понижения порядка
- вычисление определителя методом Гаусса (через приведение матрицы к треугольному виду).
Прикладное использование определителей
Вычисляют определители, как правило, для конкретной системы, заданной в виде квадратной матрицы. Рассмотрим некоторые виды задач на нахождение определителя матрицы .
Иногда требуется найти неизвестный параметр a , при котором определитель равнялся бы нулю. Для этого необходимо составить уравнение определителя (например, по правилу треугольников
) и, приравняв его к 0 , вычислить параметр a .
разложение по столбцам (по первому столбцу):
Минор для (1,1): Вычеркиваем из матрицы первую строку и первый столбец.
Найдем определитель для этого минора. ∆ 1,1 = (2 (-2)-2 1) = -6 .
Определим минор для (2,1): для этого вычеркиваем из матрицы вторую строку и первый столбец.
Найдем определитель для этого минора. ∆ 2,1 = (0 (-2)-2 (-2)) = 4 . Минор для (3,1): Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.Найдем определитель для этого минора. ∆ 3,1 = (0 1-2 (-2)) = 4
Главный определитель равен: ∆ = (1 (-6)-3 4+1 4) = -14
Найдем определитель, использовав разложение по строкам (по первой строке):
Минор для (1,1): Вычеркиваем из матрицы первую строку и первый столбец.
Найдем определитель для этого минора. ∆ 1,1 = (2 (-2)-2 1) = -6 . Минор для (1,2): Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 2-й столбец. Вычислим определитель для этого минора. ∆ 1,2 = (3 (-2)-1 1) = -7 . И чтобы найти минор для (1,3) вычеркиваем из матрицы первую строку и третий столбец. Найдем определитель для этого минора. ∆ 1,3 = (3 2-1 2) = 4
Находим главный определитель: ∆ = (1 (-6)-0 (-7)+(-2 4)) = -14
Дальнейшие свойства связаны с понятиями минора и алгебраического дополнения
Минором элемента называется определитель, составленный из элементов, оставшихся после вычеркивания стоки и столбца, на пересечении которых находится этот элемент. Минор элемента определителя порядка имеет порядок . Будем его обозначать через .
Пример 1.
Пусть 
, тогда 
.
Этот минор получается из A путём вычёркивания второй строки и третьего столбца.
Алгебраическим дополнением
элемента называется соответствующий минор, умноженный на , т.е 
, где –номер строки и -столбца, на пересечении которых находится данный элемент.
VІІІ. (Разложение определителя по элементам некоторой строки). Определитель равен сумме произведений элементов некоторой строки на соответствующие им алгебраические дополнения.
Пример 2.
Пусть 
, тогда
Пример 3.
Найдём определитель матрицы , разложив его по элементам первой строки.
Формально эта теорема и другие свойства определителей применимы пока только для определителей матриц не выше третьего порядка, поскольку другие определители мы не рассматривали. Следующее определение позволит распространить эти свойства на определители любого порядка.
Определителемматрицы порядка называется число, вычисленное с помощью последовательного применения теоремы о разложении и других свойств определителей.
Можно проверить, что результат вычислений не зависит от того, в какой последовательности и для каких строк и столбцов применяются вышеуказанные свойства. Определитель с помощью этого определения находится однозначно.
Хотя данное определение и не содержит явной формулы для нахождения определителя, оно позволяет находить его путём сведения к определителям матриц меньшего порядка. Такие определения называют рекуррентными.
Пример 4.
Вычислить определитель: 
Хотя теорему о разложении можно применять к любой строке или столбцу данной матрицы, меньше вычислений получится при разложении по столбцу, содержащему как можно больше нулей.
Поскольку у матрицы нет нулевых элементов, то получим их с помощью свойства VII
. Умножим первую строку последовательно на числа 
и прибавим её ко строкам и получим:
Разложим получившийся определитель по первому столбцу и получим:
так как определитель содержит два пропорциональных столбца.
Некоторые виды матриц и их определители
Квадратная матрица, у которой ниже или выше главной диагонали стоят нулевые элементы ()называется треугольной.
Их схематичное строение соответственно имеет вид: 
или
.
В общем случае правило вычисления определителей $n$-го порядка является довольно громоздким. Для определителей второго и третьего порядка существуют рациональные способы их вычислений.
Вычисления определителей второго порядка
Чтобы вычислить определитель матрицы второго порядка, надо от произведения элементов главной диагонали отнять произведение элементов побочной диагонали :
$$\left| \begin{array}{ll}{a_{11}} & {a_{12}} \\ {a_{21}} & {a_{22}}\end{array}\right|=a_{11} \cdot a_{22}-a_{12} \cdot a_{21}$$
Пример
Задание. Вычислить определитель второго порядка $\left| \begin{array}{rr}{11} & {-2} \\ {7} & {5}\end{array}\right|$
Решение. $\left| \begin{array}{rr}{11} & {-2} \\ {7} & {5}\end{array}\right|=11 \cdot 5-(-2) \cdot 7=55+14=69$
Ответ. $\left| \begin{array}{rr}{11} & {-2} \\ {7} & {5}\end{array}\right|=69$
Методы вычисления определителей третьего порядка
Для вычисления определителей третьего порядка существует такие правила.
Правило треугольника
Схематически это правило можно изобразить следующим образом:
Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком "плюс"; аналогично, для второго определителя - соответствующие произведения берутся со знаком "минус", т.е.
$$\left| \begin{array}{ccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {a_{13}} \\ {a_{21}} & {a_{22}} & {a_{23}} \\ {a_{31}} & {a_{32}} & {a_{33}}\end{array}\right|=a_{11} a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31}+a_{13} a_{21} a_{32}-$$
$$-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}-a_{13} a_{22} a_{31}$$
Пример
Задание. Вычислить определитель $\left| \begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \\ {4} & {1} & {3} \\ {1} & {-2} & {-2}\end{array}\right|$ методом треугольников.
Решение. $\left| \begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \\ {4} & {1} & {3} \\ {1} & {-2} & {-2}\end{array}\right|=3 \cdot 1 \cdot(-2)+4 \cdot(-2) \cdot(-1)+$
$$+3 \cdot 3 \cdot 1-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot(-2) \cdot 3-4 \cdot 3 \cdot(-2)=54$$
Ответ.
Правило Саррюса
Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком "плюс"; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком "минус":
$$-a_{13} a_{22} a_{31}-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}$$
Пример
Задание. Вычислить определитель $\left| \begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \\ {4} & {1} & {3} \\ {1} & {-2} & {-2}\end{array}\right|$ с помощью правила Саррюса.
Решение.
$$+(-1) \cdot 4 \cdot(-2)-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot 3 \cdot(-2)-3 \cdot 4 \cdot(-2)=54$$
Ответ. $\left| \begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \\ {4} & {1} & {3} \\ {1} & {-2} & {-2}\end{array}\right|=54$
Разложение определителя по строке или столбцу
Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения . Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.
Пример
Задание. Разложив по первой строке, вычислить определитель $\left| \begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right|$
Решение. $\left| \begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right| \leftarrow=a_{11} \cdot A_{11}+a_{12} \cdot A_{12}+a_{13} \cdot A_{13}=$
$1 \cdot(-1)^{1+1} \cdot \left| \begin{array}{cc}{5} & {6} \\ {8} & {9}\end{array}\right|+2 \cdot(-1)^{1+2} \cdot \left| \begin{array}{cc}{4} & {6} \\ {7} & {9}\end{array}\right|+3 \cdot(-1)^{1+3} \cdot \left| \begin{array}{cc}{4} & {5} \\ {7} & {8}\end{array}\right|=-3+12-9=0$
Ответ.
Этот метод позволяет вычисление определителя свести к вычислению определителя более низкого порядка.
Пример
Задание. Вычислить определитель $\left| \begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right|$
Решение. Выполним следующие преобразования над строками определителя : из второй строки отнимем четыре первых, а из третьей первую строку, умноженную на семь, в результате, согласно свойствам определителя, получим определитель, равный данному.
$$\left| \begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \\ {4-4 \cdot 1} & {5-4 \cdot 2} & {6-4 \cdot 3} \\ {7-7 \cdot 1} & {8-7 \cdot 2} & {9-7 \cdot 3}\end{array}\right|=$$
$$=\left| \begin{array}{rrr}{1} & {2} & {3} \\ {0} & {-3} & {-6} \\ {0} & {-6} & {-12}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \\ {0} & {-3} & {-6} \\ {0} & {2 \cdot(-3)} & {2 \cdot(-6)}\end{array}\right|=0$$
Определитель равен нулю, так как вторая и третья строки являются пропорциональными.
Ответ. $\left| \begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right|=0$
Для вычисления определителей четвертого порядка и выше применяется либо разложение по строке/столбцу, либо приведение к треугольному виду, либо с помощью теоремы Лапласа.
Разложение определителя по элементам строки или столбца
Пример
Задание. Вычислить определитель $\left| \begin{array}{llll}{9} & {8} & {7} & {6} \\ {5} & {4} & {3} & {2} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {3} & {4} & {5} & {6}\end{array}\right|$ , разложив его по элементам какой-то строки или какого-то столбца.
Решение. Предварительно выполним элементарные преобразования над строками определителя , сделав как можно больше нулей либо в строке, либо в столбце. Для этого вначале от первой строки отнимем девять третьих, от второй - пять третьих и от четвертой - три третьих строки, получаем:
$$\left| \begin{array}{cccc}{9} & {8} & {7} & {6} \\ {5} & {4} & {3} & {2} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {3} & {4} & {5} & {6}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{cccc}{9-1} & {8-0} & {7-9} & {6-18} \\ {5-5} & {4-0} & {3-5} & {2-10} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {0} & {4} & {2} & {0}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{rrrr}{0} & {8} & {-2} & {-12} \\ {0} & {4} & {-2} & {-8} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {0} & {4} & {2} & {0}\end{array}\right|$$
Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:
$$\left| \begin{array}{rrrr}{0} & {8} & {-2} & {-12} \\ {0} & {4} & {-2} & {-8} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {0} & {4} & {2} & {0}\end{array}\right|=0+0+1 \cdot(-1)^{3+1} \cdot \left| \begin{array}{rrr}{8} & {-2} & {-12} \\ {4} & {-2} & {-8} \\ {4} & {2} & {0}\end{array}\right|+0$$
Полученный определитель третьего порядка также разложим по элементам строки и столбца, предварительно получив нули, например, в первом столбце. Для этого от первой строки отнимаем две вторые строки, а от третьей - вторую:
$$\left| \begin{array}{rrr}{8} & {-2} & {-12} \\ {4} & {-2} & {-8} \\ {4} & {2} & {0}\end{array}\right|=\left| \begin{array}{rrr}{0} & {2} & {4} \\ {4} & {-2} & {-8} \\ {0} & {4} & {8}\end{array}\right|=4 \cdot(-1)^{2+2} \cdot \left| \begin{array}{ll}{2} & {4} \\ {4} & {8}\end{array}\right|=$$
$$=4 \cdot(2 \cdot 8-4 \cdot 4)=0$$
Ответ. $\left| \begin{array}{cccc}{9} & {8} & {7} & {6} \\ {5} & {4} & {3} & {2} \\ {1} & {0} & {1} & {2} \\ {3} & {4} & {5} & {6}\end{array}\right|=0$
Замечание
Последний и предпоследний определители можно было бы и не вычислять, а сразу сделать вывод о том, что они равны нулю, так как содержат пропорциональные строки.
Приведение определителя к треугольному виду
С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его значение, согласно свойствам определителя , равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.
Пример
Задание. Вычислить определитель $\Delta=\left| \begin{array}{rrrr}{-2} & {1} & {3} & {2} \\ {3} & {0} & {-1} & {2} \\ {-5} & {2} & {3} & {0} \\ {4} & {-1} & {2} & {-3}\end{array}\right|$ приведением его к треугольному виду.
Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования будет выполнять проще, если элемент $a_{11}$ будет равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя, приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:
$$\Delta=\left| \begin{array}{rrrr}{-2} & {1} & {3} & {2} \\ {3} & {0} & {-1} & {2} \\ {-5} & {2} & {3} & {0} \\ {4} & {-1} & {2} & {-3}\end{array}\right|=-\left| \begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {3} & {-1} & {2} \\ {2} & {-5} & {3} & {0} \\ {-1} & {4} & {2} & {-3}\end{array}\right|$$
$$\Delta=-\left| \begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {3} & {-1} & {2} \\ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \\ {0} & {2} & {5} & {-1}\end{array}\right|$$
Далее получаем нули во втором столбце на месте элементов, стоящих под главной диагональю. И снова, если диагональный элемент будет равен $\pm 1$ , то вычисления будут более простыми. Для этого меняем местами вторую и третью строки (и при этом меняется на противоположный знак определителя):
$$\Delta=\left| \begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \\ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \\ {0} & {3} & {-1} & {2} \\ {0} & {2} & {5} & {-1}\end{array}\right|$$
Для определителя четвёртого и более высоких порядков обычно применяются иные методы вычисления, нежели использование готовых формул как для вычисления определителей второго и третьего порядков . Один из методов вычисления определителей высших порядков - использование следствия из теоремы Лапласа (саму теорему можно посмотреть, например, в книге А.Г. Куроша «Курс высшей алгебры»). Это следствие позволяет разложить определитель по элементам некоторой строки или столбца. При этом вычисление определителя n-го порядка сводится к вычислению n определителей (n-1)-го порядка. Именно поэтому такое преобразование именуют понижением порядка определителя. Например, вычисление определителя четвёртого порядка сводится к нахождению четырёх определителей третьего порядка.
Допустим, нам задана квадратная матрица n-го порядка, т.е. $A=\left(\begin{array} {cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \\ \end{array} \right)$. Вычислить определитель этой матрицы можно, разложив его по строке или по столбцу.
Зафиксируем некоторую строку, номер которой равен $i$. Тогда определитель матрицы $A_{n\times n}$ можно разложить по выбранной i-й строке, используя следующую формулу:
\begin{equation} \Delta A=\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\ldots+a_{in}A_{in} \end{equation}
$A_{ij}$ обозначает алгебраическое дополнение элемента $a_{ij}$. Для подробной информации об этом понятии рекомендую глянуть тему Алгебраические дополнения и миноры . Запись $a_{ij}$ обозначает элемент матрицы или определителя, расположенный на пересечении i-й строки j-го столбца. Для более полной информации можно глянуть тему Матрицы. Виды матриц. Основные термины .
Допустим, мы хотим найти сумму $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2$. Какой фразой можно охарактеризовать запись $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2$? Можно сказать так: это сумма единицы в квадрате, двойки в квадрате, тройки в квадрате, четвёрки в квадрате и пятёрки в квадрате. А можно сказать покороче: это сумма квадратов целых чисел от 1 до 5. Чтобы выражать сумму более коротко и служит запись с помощью буквы $\sum$ (это греческая буква "сигма").
Вместо $1^2+2^2+3^2+4^2+5^2$ мы можем использовать такую запись: $\sum\limits_{i=1}^{5}i^2$. Буква $i$ именуется индексом суммирования , а числа 1 (начальное значение $i$) и 5 (конечное значение $i$) называются нижним и верхним пределами суммирования соответственно.
Расшифруем запись $\sum\limits_{i=1}^{5}i^2$ подробно. Если $i=1$, то $i^2=1^2$, поэтому первым слагаемым данной суммы будет число $1^2$:
$$ \sum\limits_{i=1}^{5}i^2=1^2+\ldots $$
Следующее целое число после единицы - двойка, поэтому подставляя $i=2$, получим: $i^2=2^2$. Сумма теперь станет такой:
$$ \sum\limits_{i=1}^{5}i^2=1^2+2^2+\ldots $$
После двойки следующее число - тройка, поэтому подставляя $i=3$ будем иметь: $i^2=3^2$. И сумма примет вид:
$$ \sum\limits_{i=1}^{5}i^2=1^2+2^2+3^2+\ldots $$
Осталось подставить лишь два числа: 4 и 5. Если подставить $i=4$, то $i^2=4^2$, а если подставить $i=5$, то $i^2=5^2$. Значения $i$ достигли верхнего предела суммирования, поэтому слагаемое $5^2$ будет последним. Итак, окончательно сумма теперь такова:
$$ \sum\limits_{i=1}^{5}i^2=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2. $$
Эту сумму можно и вычислить, банально сложив числа: $\sum\limits_{i=1}^{5}i^2=55$.
Для практики попробуйте записать и вычислить следующую сумму: $\sum\limits_{k=3}^{8}(5k+2)$. Индекс суммирования здесь - буква $k$, нижний предел суммирования равен 3, а верхний предел суммирования равен 8.
$$ \sum\limits_{k=3}^{8}(5k+2)=17+22+27+32+37+42=177. $$
Аналог формулы (1) существует и для столбцов. Формула для разложения определителя по j-му столбцу выглядит следующим образом:
\begin{equation} \Delta A=\sum\limits_{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij}=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\ldots+a_{nj}A_{nj} \end{equation}
Правила, выраженные формулами (1) и (2), можно сформулировать так: определитель равен сумме произведений элементов некоей строки или столбца на алгебраические дополнения этих элементов. Для наглядности рассмотрим определитель четвёртого порядка, записанный в общем виде. Для примера разложим его по элементам четвёртого столбца (элементы этого столбца выделены зелёным цветом):
$$\Delta=\left| \begin{array} {cccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \normgreen{a_{14}} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \normgreen{a_{24}} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \normgreen{a_{34}} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & \normgreen{a_{44}} \\ \end{array} \right|$$ $$ \Delta =\normgreen{a_{14}}\cdot{A_{14}}+\normgreen{a_{24}}\cdot{A_{24}}+\normgreen{a_{34}}\cdot{A_{34}}+\normgreen{a_{44}}\cdot{A_{44}} $$
Аналогично, раскладывая, к примеру, по третьей строке, получим такую формулу для вычисления определителя:
$$ \Delta =a_{31}\cdot{A_{31}}+a_{32}\cdot{A_{32}}+a_{33}\cdot{A_{33}}+a_{34}\cdot{A_{34}} $$
Пример №1
Вычислить определитель матрицы $A=\left(\begin{array} {ccc} 5 & -4 & 3 \\ 7 & 2 & -1 \\ 9 & 0 & 4 \end{array} \right)$, используя разложение по первой строке и второму столбцу.
Нам нужно вычислить определитель третьего порядка $\Delta A=\left| \begin{array} {ccc} 5 & -4 & 3 \\ 7 & 2 & -1 \\ 9 & 0 & 4 \end{array} \right|$. Чтобы разложить его по первой строке нужно использовать формулу . Запишем это разложение в общем виде:
$$ \Delta A= a_{11}\cdot A_{11}+a_{12}\cdot A_{12}+a_{13}\cdot A_{13}. $$
Для нашей матрицы $a_{11}=5$, $a_{12}=-4$, $a_{13}=3$. Для вычисления алгебраических дополнений $A_{11}$, $A_{12}$, $A_{13}$ станем использовать формулу №1 из темы, посвящённой . Итак, искомые алгебраические дополнения таковы:
\begin{aligned} & A_{11}=(-1)^2\cdot \left| \begin{array} {cc} 2 & -1 \\ 0 & 4 \end{array} \right|=2\cdot 4-(-1)\cdot 0=8;\\ & A_{12}=(-1)^3\cdot \left| \begin{array} {cc} 7 & -1 \\ 9 & 4 \end{array} \right|=-(7\cdot 4-(-1)\cdot 9)=-37;\\ & A_{13}=(-1)^4\cdot \left| \begin{array} {cc} 7 & 2 \\ 9 & 0 \end{array} \right|=7\cdot 0-2\cdot 9=-18. \end{aligned}
Как мы нашли алгебраические дополнения? показать\скрыть
Подставляя все найденные значения в записанную выше формулу, получим:
$$ \Delta A= a_{11}\cdot A_{11}+a_{12}\cdot A_{12}+a_{13}\cdot A_{13}=5\cdot{8}+(-4)\cdot(-37)+3\cdot(-18)=134. $$
Как видите, процесс нахождения определителя третьего порядка мы свели к вычислению значений трёх определителей второго порядка. Иными словами, мы понизили порядок исходного определителя.
Обычно в таких простых случаях не расписывают решение подробно, отдельно находя алгебраические дополнения, а уж затем подставляя их в формулу для вычисления определителя. Чаще всего просто продолжают запись общей формулы, - до тех пор, пока не будет получен ответ. Именно так мы станем раскладывать определитель по второму столбцу.
Итак, приступим к разложению определителя по второму столбцу. Вспомогательных вычислений производить не будем, - просто продолжим формулу до получения ответа. Обратите внимание, что во втором столбце один элемент равен нулю, т.е. $a_{32}=0$. Это говорит о том, что слагаемое $a_{32}\cdot A_{32}=0\cdot A_{23}=0$. Используя формулу для разложения по второму столбцу, получим:
$$ \Delta A= a_{12}\cdot A_{12}+a_{22}\cdot A_{22}+a_{32}\cdot A_{32}=-4\cdot (-1)\cdot \left| \begin{array} {cc} 7 & -1 \\ 9 & 4 \end{array} \right|+2\cdot \left| \begin{array} {cc} 5 & 3 \\ 9 & 4 \end{array} \right|=4\cdot 37+2\cdot (-7)=134. $$
Ответ получен. Естественно, что результат разложения по второму столбцу совпал с результатом разложения по первой строке, ибо мы раскладывали один и тот же определитель. Заметьте, что при разложении по второму столбцу мы делали меньше вычислений, так как один элемент второго столбца был равен нулю. Именно исходя из таких соображений для разложения стараются выбирать тот столбец или строку, которые содержат побольше нулей.
Ответ : $\Delta A=134$.
Пример №2
Вычислить определитель матрицы $A=\left(\begin{array} {cccc} -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end{array} \right)$, используя разложение по выбранной строке или столбцу.
Для разложения выгоднее всего выбирать ту строку или столбец, которые содержат более всего нулей. Естественно, что в данном случае имеет смысл раскладывать по третьей строке, так как она содержит два элемента, равных нулю. Используя формулу, запишем разложение определителя по третьей строке:
$$ \Delta A= a_{31}\cdot A_{31}+a_{32}\cdot A_{32}+a_{33}\cdot A_{33}+a_{34}\cdot A_{34}. $$
Так как $a_{31}=-5$, $a_{32}=0$, $a_{33}=-4$, $a_{34}=0$, то записанная выше формула станет такой:
$$ \Delta A= -5 \cdot A_{31}-4\cdot A_{33}. $$
Обратимся к алгебраическим дополнениям $A_{31}$ и $A_{33}$. Для их вычисления будем использовать формулу №2 из темы, посвящённой определителям второго и третьего порядков (в этом же разделе есть подробные примеры применения данной формулы).
\begin{aligned} & A_{31}=(-1)^4\cdot \left| \begin{array} {ccc} 3 & 2 & -3 \\ -2 & 5 & 1 \\ 7 & 8 & -7 \end{array} \right|=10;\\ & A_{33}=(-1)^6\cdot \left| \begin{array} {ccc} -1 & 3 & -3 \\ 4 & -2 & 1 \\ 9 & 7 & -7 \end{array} \right|=-34. \end{aligned}
Подставляя полученные данные в формулу для определителя, будем иметь:
$$ \Delta A= -5 \cdot A_{31}-4\cdot A_{33}=-5\cdot 10-4\cdot (-34)=86. $$
В принципе, всё решение можно записать в одну строку. Если пропустить все пояснения и промежуточные вычисления, то запись решения будет такова:
$$ \Delta A= a_{31}\cdot A_{31}+a_{32}\cdot A_{32}+a_{33}\cdot A_{33}+a_{34}\cdot A_{34}=\\= -5 \cdot (-1)^4\cdot \left| \begin{array} {ccc} 3 & 2 & -3 \\ -2 & 5 & 1 \\ 7 & 8 & -7 \end{array} \right|-4\cdot (-1)^6\cdot \left| \begin{array} {ccc} -1 & 3 & -3 \\ 4 & -2 & 1 \\ 9 & 7 & -7 \end{array} \right|=-5\cdot 10-4\cdot (-34)=86. $$
Ответ : $\Delta A=86$.
Часто в ВУЗе попадаются задачи по высшей математики, в которых необходимо вычислить определитель матрицы . К слову, определитель может быть только в квадратных матрицах. Ниже рассмотрим основные определения, какими свойствами обладает определитель и как его правильно вычислить.. Также на примерах покажем подробное решение.
Что такое определитель матрицы: вычисление определителя при помощи определения
Определитель матрицы
Второго порядка – это число .
Определитель матрицы обозначается – (сокращенно от латинского названия детерминант), или .
Если:, тогда получается
Напомним ещё несколько вспомогательных определений:
Определение
Упорядоченный набор чисел, который состоит из элементов называется перестановкой порядка .
Для множества, которое содержит элементов есть факториал (n), который всегда обозначается восклицательным знаком: . Перестановки отличаются друг от друга всего лишь порядком следования. Чтобы вам было понятнее, приведём пример:
Рассмотрим множество из трёх элементов {3, 6, 7}. Всего перестановок 6, так как .:
Определение
Инверсия в перестановке порядка – это упорядоченный набор чисел (его ещё называют биекцией), где из них два числа образуют некий беспорядок. Это когда большее из чисел в данной перестановке расположено левее меньшего числа.
Выше мы рассматривали пример с инверсией перестановки, где были числа . Так вот, возьмём вторую строку, где судя по данным числам получается, что , а , так как второй элемент больше третьего элемента . Возьмём для сравнения шестую строку, где расположены числа: . Здесь есть три пары: , а , так как title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: 0px;">; , так как title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: 0px;">; , – title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="12" width="43" style="vertical-align: 0px;">.
Саму инверсию мы изучать не будем, а вот перестановки нам очень пригодятся в дальнейшем рассмотрении темы.
Определение
Определитель матрицы x – число:
– перестановка чисел от 1 до бесконечного числа , а – число инверсий в перестановке. Таким образом, в определитель входит слагаемых, которые называются “членами определителя”.
Можно вычислять определитель матрицы второго порядка, третьего и даже четвёртого. Также стоит упомянуть:
Определение
определитель матрицы – это число, которое равняется
Чтобы понять данную формулу, опишем её более подробно. Определитель квадратной матрицы x – это сумма, которая содержит слагаемых, а каждое слагаемое является собой произведением определённого количества элементов матрицы. При этом, в каждом произведении есть элемент из каждой строки и каждого столбца матрицы.
Перед определённым слагаемым может появится в том случае, если элементы матрицы в произведении идут по порядку (по номеру строку), а количество инверсий в перестановке множество номеров столбцов нечётно.
Выше упоминалось о том, что определитель матрицы обозначается или , то есть, определитель часто называют детерминантом.
Итак, вернёмся к формуле:
Из формулы видно, что определитель матрицы первого порядка – это элемент этой же матрицы .
Вычисление определителя матрицы второго порядка
Чаще всего на практике определитель матрицы решается методами второго, третьего и реже, четвёртого порядка. Рассмотрим, как вычисляется определитель матрицы второго порядка:
В матрице второго порядка , отсюда следует, что факториал . Прежде чем применить формулу
Необходимо определить, какие данные у нас получаются:
2. перестановки множеств: и ;
3. количество инверсий в перестановке : и , так как title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="42" style="vertical-align: -1px;">;
4. соответствующие произведения : и .
Получается:
Исходя из вышесказанного мы получаем формулу для вычисления определителя квадратной матрицы второго порядка, то есть x :
Рассмотрим на конкретном примере, как вычислять определитель квадратной матрицы второго порядка:
Пример
Задача
Вычислить определитель матрицы x :
Решение
Итак, у нас получается , , , .
Для решения необходимо воспользоваться ранее рассмотренной формулой:
Подставляем числа с примера и находим:
Ответ
Определитель матрицы второго порядка = .
Вычисление определителя матрицы третьего порядка: пример и решение по формуле
Определение
Определитель матрицы третьего порядка – это число, полученное из девяти заданных чисел, расположенных в виде квадратной таблицы,
Определитель третьего порядка находится почти так же, как и определитель второго порядка. Разница лишь в формуле. Поэтому, если хорошо ориентироваться в формуле, тогда и проблем с решением не будет.
Рассмотрим квадратную матрицу третьего порядка * :
Исходя из данной матрицы, понимаем, что , соответственно, факториал = , а это значит, что всего перестановок получается
Чтобы применить правильно формулу , необходимо найти данные:
Итак, всего перестановок множества :
Количество инверсий в перестановке , а соответствующие произведения = ;
Количество инверсий в перестановке title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="65" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведения = ;
Инверсий в перестановке title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="65" style="vertical-align: -4px;"> ;
. ; инверсий в перестановке title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="118" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение =
. ; инверсий в перестановке title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="118" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение =
. ; инверсий в перестановке title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="171" style="vertical-align: -4px;">, соответствующие произведение = .
Теперь у нас получается:
Таким образом у нас получена формула для вычисления определителя матрицы порядка x :
Нахождение матрицы третьего порядка по правилу треугольника (правило Саррюса)
Как говорилось выше, элементы определителя 3-го порядка расположены в трёх строках и трёх столбцах. Если ввести обозначение общего элемента , тогда первый элемент обозначает номер строки, а второй элемент из индексов – номер столбца. Есть главная (элементы ) и побочная (элементы ) диагонали определителя. Слагаемые в правой части называются членами определителя).
Видно, что каждый член определителя находится в схеме только по одному элементу в каждой строке и каждого столбца.
Вычислять определитель можно при помощи правила прямоугольника, который изображён в виде схемы. Красным цветом выделены члены определителя из элементов главной диагонали, а также члены из элементов, которые находятся в вершине треугольников, что имеют по одной стороне, параллельны главной диагонали (лева схема), беруться со знаком .
Члены с синими стрелками из элементов побочной диагонали, а также из элементов, которые находятся в вершинах треугольников, что имеют стороны, параллельные побочной диагонали (правая схема) берутся со знаком .
На следующем примере научимся, как вычислять определитель квадратной матрицы третьего порядка.
Пример
Задача
Вычислить определитель матрицы третьего порядка:
Решение
В этом примере:
Вычисляем определитель, применяя формулу или схему, которые рассматривались выше:
Ответ
Определитель матрицы третьего порядка =
Основные свойства определителей матрицы третьего порядка
На основании предыдущих определений и формул рассмотрим основные свойства определителя матрицы .
1. Размер определителя не изменится при замене соответствующих строк, столбцов (такая замена называется транспонированием).
На примере убедимся, что определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы:
Вспомним формулу для вычисления определителя:
Транспонируем матрицу:
Вычисляем определитель транспонированной матрицы:
Мы убедились, что определитель транспортированной матрицы равен исходной матрице, что говорит о правильном решении.
2. Знак определителя изменится на противоположный, если в нём поменять местами любые два его столбца или две строки.
Рассмотрим на примере:
Даны две матрицы третьего порядка ( x ):
Нужно показать, что определители данных матриц противоположные.
Решение
В матрице и в матрице поменялись строки (третья с первой, и с первой на третью). Согласно второму свойству определители двух матриц должны отличаться знаком. То есть, одна матрица с положительным знаком, а вторая – с отрицательным. давайте проверим данное свойство, применив формулу для вычисления определителя.
Свойство верно, так как .
3. Определитель равняется нулю, если в нём есть одинаковые соответствующие элементы в двух строках (столбцах). Пусть у определителя одинаковые элементы первого и второго столбцов:
Поменяв местами одинаковые столбцы, мы, согласно свойству 2 получим новый определитель: = . С другой стороны, новый определитель совпадает с изначальным, поскольку одинаковые ответы элементы, то есть = . Из этих равенств у нас получается: = .
4. Определитель равняется нулю, если все элементы одной строки (столбца) нули. Это утверждение выплывает из того, что у каждого члена определителя по формуле (1) есть по одному, и только по одному элементу с каждой строки (столбца), у которого одни нули.
Рассмотрим на примере:
Покажем, что определитель матрицы равен нулю:
В нашей матрицы есть два одинаковых столбца (второй и третий), поэтому, исходя из данного свойства, определитель должен равняться нулю. Проверим:
И действительно, определитель матрицы с двумя одинаковыми столбцами равняется нулю.
5. Общий множитель элементов первой строки (столбца) можно вынести за знак определителя:
6. Если элементы одной строки или одного столбца определителя пропорциональны соответствующим элементам второй строки (столбца), тогда такой определитель равняется нулю.
Действительно, за свойством 5 коэффициент пропорциональности можно вынести за знак определителя, и тогда воспользоваться свойством 3.
7. Если каждый из элементов строк (столбцов) определителя является суммой двух слагаемых, то этот определитель можно подать в виде суммы соответствующих определителей:
Для проверки достаточно записать в развёрнутом виде по (1) определитель, что в левой части равенства, тогда отдельно сгруппировать члены, в которых содержатся элементы и .Каждая из полученных групп слагаемых будет соответственно первым и вторым определителем с правой части равенства.
8. Значения определения не изменятся, если к элементу одной строки или одного столбца прибавить соответствующие элементы второй строки (столбца), умноженные на одно и то же число:
Это равенство получается исходя из свойств 6 и 7.
9. Определитель матрицы , , равняется сумме произведений элементов какой-либо строки или столбца на их алгебраические дополнения.
Здесь по подразумевается алгебраическое дополнение элемента матрицы . При помощи данного свойства можно вычислять не только матрицы третьего порядка, но и матрицы более высших порядков ( x или x ).Другими словами – это рекуррентная формула, которая нужна для того, чтобы вычислить определитель матрицы любого порядка. Запомните её, так как она часто применяется на практике.
Стоит сказать, что при помощи девятого свойства можно вычислять определители матриц не только четвёртого порядка, но и более высших порядков. Однако, при этом нужно совершать очень много вычислительных операций и быть внимательным, так как малейшая ошибка в знаках приведёт к неверному решению. Матрицы высших порядков удобнее всего решать методом Гаусса, и об этом поговорим позже.
10. Определитель произведения матриц одного порядка равен произведению их определителей.
Рассмотрим на примере:
Пример
Задача
Убедитесь, что определитель двух матриц и равен произведению их определителей. Даны две матрицы:
Решение
Сначала находим произведение определителей двух матриц и .
Теперь выполним умножение обеих матриц и таким образом, вычислим определитель:
Ответ
Мы убедились, что
Вычисление определителя матрицы при помощи метода Гаусса
Определитель матрицы обновлено: 22 ноября, 2019 автором: Научные Статьи.Ру